Zadanie 1: Wartość ilorazu logarytmów - Matura z Matematyki 2023, grudzień Zasady oceniania 2 pkt – poprawne zastosowanie wzorów na logarytm potęgi oraz na zamianę podstawy logarytmu i poprawny wynik: 9/2. 1 pkt – zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu i zapisanie wyrażenia (log₃ 5 · log₂₅ 27) / log₇ ⁶√49 w postaci np. (log₃ 5 · log₃ 27 / log₃ 25) / log₇ ⁶√49 albo (log₁₀ 5 / log₁₀ 3 · log₁₀ 27 / log₁₀ 25) / (log₁₀ ⁶√49 / log₁₀ 7). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zadanie 2: Wykres funkcji z modułem - Matura z Matematyki 2023, grudzień 2.1 Zadanie 2.1: Zbiór wartości funkcji Poprawna odpowiedź g(11) = 9/4, zbiór [0, 9/4]
Zasady oceniania 2 pkt – obliczenie wartości funkcji g(11) oraz zapisanie zbioru wszystkich wartości, jakie funkcja g przyjmuje w przedziale [9, 11]: g(11) = 9/4 oraz [0, 9/4]. 1 pkt – obliczenie miejsc zerowych funkcji g i obliczenie pierwszej współrzędnej p punktu, w którym funkcja ma maksimum lokalne (lub zapisanie, że p ∉ [9, 11]): 2 i 10 oraz p = 6. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. 2.2 Zadanie 2.2: Dwa rozwiązania dodatnie Poprawna odpowiedź m ∈ (−5, −4) ∪ {0} ∪ (4, 5)
Zasady oceniania 2 pkt – obliczenie wartości m, dla których równanie g(x) = |m| posiada dwa rozwiązania tego samego znaku: m ∈ (−5, −4) ∪ {0} ∪ (4, 5). 1 pkt – obliczenie albo zapisanie drugiej współrzędnej punktu przecięcia wykresu funkcji g z osią Oy oraz obliczenie wartości q lokalnego maksimum funkcji g: 5 oraz q = 4. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zadanie 3: Nierówność sześcienna - Matura z Matematyki 2023, grudzień Poprawna odpowiedź x³ + 2xy + y³ ≥ x² + xy(x + y) + y²
Zasady oceniania 3 pkt – przeprowadzenie pełnego dowodu, tj. przekształcenie nierówności do postaci (x + y − 1)(x − y)² ≥ 0 oraz uzasadnienie jej prawdziwości dla wszystkich liczb rzeczywistych x oraz y spełniających warunek x + y ≥ 1. 2 pkt – przekształcenie nierówności do postaci (x + y − 1)(x − y)² ≥ 0. 1 pkt – przekształcenie nierówności do postaci, w której wyrażenie (x + y) występuje jako wspólny czynnik w co najmniej dwóch iloczynach, np. (x + y)(x² − xy + y²) − xy(x + y) − x² + 2xy − y² ≥ 0, albo do postaci, w której (x − y) występuje jako wspólny czynnik w co najmniej dwóch iloczynach, np. x²(x − y) − y²(x − y) − (x − y)² ≥ 0. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zadanie 4: Prawdopodobieństwo niedowagi - Matura z Matematyki 2023, grudzień Poprawna odpowiedź P(A) ≈ 0,68
Zasady oceniania 3 pkt – poprawna metoda obliczenia prawdopodobieństwa i poprawny wynik: P(A) ≈ 0,68. 2 pkt – poprawne zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w n próbach Bernoullego i zapisanie P(A) = C(20, 0)·(0,1)⁰·(0,9)²⁰ + C(20, 1)·(0,1)¹·(0,9)¹⁹ + C(20, 2)·(0,1)²·(0,9)¹⁸. 1 pkt – określenie sukcesu i porażki w pojedynczej próbie Bernoullego oraz podanie ich prawdopodobieństw: p = 0,1 oraz q = 0,9. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zadanie 5: Równanie trygonometryczne - Matura z Matematyki 2023, grudzień Poprawna odpowiedź x = −π/6 + kπ lub x = 2π/3 + 2kπ lub x = −2π/3 + 2kπ, k ∈ ℤ
Zasady oceniania 4 pkt – poprawna metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: x = −π/6 + kπ lub x = 2π/3 + 2kπ lub x = −2π/3 + 2kπ, gdzie k ∈ ℤ. 3 pkt – rozwiązanie równania elementarnego tg x = −√3/3 (lub cos x = −1/2): x = −π/6 + kπ, k ∈ ℤ (lub x = 2π/3 + 2kπ oraz x = −2π/3 + 2kπ, gdzie k ∈ ℤ). 2 pkt – przekształcenie równania 6 sin x + 2√3 cos x + 3 tg x + √3 = 0 do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np. 3 tg x + √3 = 0 lub 2 cos x + 1 = 0, dla x ≠ π/2 + kπ. 1 pkt – zapisanie, że lewa strona równania ma sens liczbowy dla x ≠ π/2 + kπ, oraz przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu, np. (3 tg x + √3)(2 cos x + 1) = 0. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zadanie 6: Równoboczność trójkąta - Matura z Matematyki 2023, grudzień Poprawna odpowiedź Trójkąt ABC jest równoboczny.
Zasady oceniania 4 pkt – wyznaczenie miar pozostałych kątów trójkąta ABC. 3 pkt – obliczenie miary kąta γ: γ = 60°. 2 pkt – zastosowanie twierdzenia o kątach wierzchołkowych i zapisanie zależności γ = α + β. 1 pkt – zastosowanie twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie i zapisanie zależności |∡LPK| = 180° − γ albo zastosowanie twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta i zapisanie zależności |∡APB| = 180° − α − β. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zadanie 7: Najmniejszy koszt oleju - Matura z Matematyki 2023, grudzień Poprawna odpowiedź x = 15, K(15) = 38,50 zł
Zasady oceniania 4 pkt – wyznaczenie poziomu produkcji, przy którym przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju jest najmniejszy, oraz obliczenie najmniejszego przeciętnego kosztu produkcji: x = 15 oraz K(15) = 38,50 zł. 3 pkt – zbadanie znaku pochodnej funkcji K: K'(x) < 0 dla x ∈ [0, 15) oraz K'(x) > 0 dla x ∈ (15, 50], oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości x, dla której K osiąga wartość najmniejszą. Przykład: funkcja K określona na [0, 50] jest malejąca w [0, 15] i rosnąca w [15, 50], więc w x = 15 osiąga najmniejszą wartość. 2 pkt – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji K: x = 15. 1 pkt – wyznaczenie pochodnej funkcji K: K'(x) = [(44x − 621,5)(480 + x) − (22x² − 621,5x + 23 430)] / (480 + x)². 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Bez uzasadnienia, że dla wyznaczonego x funkcja K ma najmniejszą wartość w dziedzinie [0, 50], co najwyżej 3 pkt. Uzasadnienie minimum w zbiorze liczb rzeczywistych zamiast w dziedzinie zadania również daje co najwyżej 3 pkt. Zadanie 8: Nierówność wymierna - Matura z Matematyki 2023, grudzień Poprawna odpowiedź [−3, −2) ∪ (2, 5/2]
Zasady oceniania 5 pkt – zastosowanie poprawnej metody rozwiązania nierówności wymiernej oraz poprawny wynik: [−3, −2) ∪ (2, 5/2]. 4 pkt – wyznaczenie dziedziny R \ {−2, 2} oraz zapisanie nierówności −2(x − 5/2)(x + 3) / [(x − 2)(x + 2)] ≥ 0 albo rozwiązanie nierówności wielomianowej −2(x − 5/2)(x + 3)(x − 2)(x + 2) ≥ 0 ze zbiorem [−3, −2] ∪ [2, 5/2]. 3 pkt – wyznaczenie dziedziny R \ {−2, 2} oraz zapisanie nierówności (−2x² − x + 15) / [(x − 2)(x + 2)] ≥ 0 albo −2(x − 5/2)(x + 3) / [(x − 2)(x + 2)] ≥ 0. 2 pkt – wyznaczenie dziedziny R \ {−2, 2} oraz zapisanie nierówności (x − 1)/(x² − 4) + (x + 2)/[(x − 2)(x + 2)] ≥ (2x + 7)/(2 + x) albo (−2x² − x + 15) / [(x − 2)(x + 2)] ≥ 0. 1 pkt – wyznaczenie dziedziny R \ {−2, 2} albo zapisanie nierówności (x − 1)/(x² − 4) + (x + 2)/[(x − 2)(x + 2)] ≥ (2x + 7)/(2 + x). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zadanie 9: Parametr dwóch pierwiastków - Matura z Matematyki 2023, grudzień Poprawna odpowiedź m ∈ (20/7, 4)
Zasady oceniania 5 pkt – zastosowanie poprawnej metody oraz poprawny wynik: m ∈ (20/7, 4). 4 pkt – poprawne rozwiązanie nierówności Δ > 0: m ∈ (8/3, 4) oraz zapisanie nierówności z jedną niewiadomą m wynikającej z warunku (x₁³ + x₂³)/3 < (5x₁²x₂ + 5x₁x₂²)/2 w postaci −7m³ + 76m² − 272m + 320 < 0 lub (m − 4)(−7m² + 48m − 80) < 0, lub −7(m − 4)²(m − 20/7) < 0. Albo samo poprawne rozwiązanie tej nierówności: m ∈ (20/7, 4) ∪ (4, +∞). 3 pkt – poprawne rozwiązanie Δ > 0: m ∈ (8/3, 4) oraz zapisanie nierówności z jedną niewiadomą m, np. (m − 4)[(m − 4)² − 3(m² − 7m + 12)] < 5(m² − 7m + 12)(m − 4). Albo zapisanie −7m³ + 76m² − 272m + 320 < 0 lub (m − 4)(−7m² + 48m − 80) < 0, lub −7(m − 4)²(m − 20/7) < 0. 2 pkt – poprawne rozwiązanie Δ > 0: m ∈ (8/3, 4) oraz przekształcenie warunku (x₁³ + x₂³)/3 < (5x₁²x₂ + 5x₁x₂²)/2 do postaci pozwalającej na wzory Viète’a, np. (x₁ + x₂)[(x₁ + x₂)² − 3x₁x₂] < 5x₁x₂(x₁ + x₂). Albo zastosowanie wzorów Viète’a i zapisanie np. (m − 4)[(m − 4)² − 3(m² − 7m + 12)] < 5(m² − 7m + 12)(m − 4). 1 pkt – poprawne rozwiązanie nierówności Δ > 0: m ∈ (8/3, 4). Albo przekształcenie warunku (x₁³ + x₂³)/3 < (5x₁²x₂ + 5x₁x₂²)/2 do postaci pozwalającej na wzory Viète’a, np. (x₁ + x₂)[(x₁ + x₂)² − 3x₁x₂] < 5x₁x₂(x₁ + x₂). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zadanie 10: Pole przekroju ostrosłupa - Matura z Matematyki 2023, grudzień Poprawna odpowiedź P_przekroju = (27√10 / 100) a²
Zasady oceniania 5 pkt – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: P_przekroju = (27√10 / 100) a². 4 pkt – obliczenie wysokości h oraz długości podstawy EF trapezu BCFE: h = (3√10 / 10) a oraz |EF| = 0,8a. 3 pkt – obliczenie długości podstawy EF trapezu BCFE: |EF| = 0,8a albo obliczenie wysokości h trapezu BCFE: h = (3√10 / 10) a. 2 pkt – zapisanie zależności prowadzącej do |EF|, np. |EF| / |AD| = |RS| / |SG|, albo obliczenie |SG| = (√10 / 2) a oraz |RS| = (2√10 / 5) a, albo zależność prowadząca do wysokości h, np. (3√10 / 10) = h / a. 1 pkt – zapisanie, że przekrój jest trapezem (równoramiennym). 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Jeśli nie zapisano, że przekrój jest trapezem, lecz strategia rozwiązania jest realizowana, co najwyżej 4 pkt za całe rozwiązanie. Zadanie 11: Pole i obwód trapezu - Matura z Matematyki 2023, grudzień Poprawna odpowiedź P = 27648/625, L = 27,36
Zasady oceniania 5 pkt – obliczenie pola P i obwodu L trapezu i poprawne wyniki: P = 27648/625, L = 27,36. 4 pkt – obliczenie dłuższej podstawy oraz wysokości trapezu: a = 234/25, h = 144/25. Albo obie podstawy: a = 234/25 oraz b = 6. Albo samo pole P = 27648/625. Albo sam obwód L = 27,36. 3 pkt – dłuższa podstawa a = 234/25. Albo wysokość i odcinek EB: h = 144/25 oraz |EB| = 42/25. Albo |AE| = 192/25. 2 pkt – sin(α + β) = 117/125. Albo h = 144/25. Albo |EB| = 42/25. Albo |AC| = 48/5. 1 pkt – obliczenie sinusa kąta BAC: sin α = 3/5. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Zadanie 12: Odległość i pole trójkąta - Matura z Matematyki 2023, grudzień Poprawna odpowiedź h_C = 9/√2, P = 54
Zasady oceniania 6 pkt – obliczenie odległości h_C punktu C od prostej k oraz pola P trójkąta ABC: h_C = 9/√2 i P = 54. 5 pkt – obliczenie pola P trójkąta ABC: P = 54. Albo odległość h_C = 9/√2 oraz współrzędne A = (7, 2) i B = (−5, 14). 4 pkt – współrzędne A = (7, 2), B = (−5, 14) i C = (1, −1). Albo h_C = 9/√2 oraz układ x + y − 9 = 0 i y = (1/4)x² − (3/2)x + 1/4. 3 pkt – współrzędne A = (7, 2) i B = (−5, 14) oraz pochodna y' = (1/2)x − 3/2 funkcji y = (1/4)x² − (3/2)x + 1/4. Albo C = (1, −1) oraz ten sam układ równań. Albo sama odległość h_C = 9/√2. 2 pkt – współrzędne A = (7, 2) i B = (−5, 14). Albo C = (1, −1). Albo układ równań prowadzący do A i B oraz pochodna y' = (1/2)x − 3/2. 1 pkt – zapisanie układu x + y − 9 = 0 i y = (1/4)x² − (3/2)x + 1/4. Albo wyznaczenie pochodnej y' = (1/2)x − 3/2. 0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. 
