Kiedy była matura matematyka rozszerzona 2023 w terminie dodatkowym?

Matura matematyka rozszerzona 2023 w terminie dodatkowym (formuła 2023) odbyła się 2 czerwca 2023 r. Egzamin zaczynał się o 14:00 i trwał 180 minut. Symbol arkusza to MMAP-R0-100-2306. Arkusz i zasady oceniania są na stronie matura rozszerzona czerwiec 2023.

Ile zadań i punktów ma arkusz rozszerzony z czerwca 2023?

Arkusz ma zadania 1–13 i 50 punktów. Nie ma podpunktów 13.1 ani 13.2: zadanie 13 (objętość graniastosłupa) jest jednym numerem za 6 punktów. Zadania 1–6 są za 2 albo 3 punkty, 7–9 za 4, a 10–12 za 5. Lista pozostałych sesji jest w zbiorze arkuszy maturalnych.

Czy do tego arkusza są zasady oceniania CKE?

Tak. Przy każdym numerze są progi punktacji i poprawna odpowiedź z klucza (albo sam próg, gdy zadanie jest dowodem). Czas pisania na obu poziomach jest w artykule ile trwa matura z matematyki.

Z czego można było korzystać na tej maturze rozszerzonej?

Instrukcja arkusza z 2 czerwca 2023 dopuszcza Wybrane wzory matematyczne, cyrkiel, linijkę i kalkulator prosty. Listę rzeczy na salę zbiera artykuł co zabrać na maturę z matematyki.

Jakiego zakresu dotyczy ten arkusz formuły 2023?

To poziom rozszerzony formuły 2023: logarytmy, kombinatoryka, schemat Bernoullego, pochodna i styczna, ciągi, szereg geometryczny, trygonometria, geometria analityczna i optymalizacja objętości. Zakres wymagań jest w materiale matura z matematyki — wymagania, a przygotowanie do rozszerzenia opisujemy na stronie kursu do matury rozszerzonej.

Matura matematyka rozszerzona 2023 czerwiec

Nazwa	Opis	Data publikacji	Typ danych	Dokument
Arkusz egzaminacyjny	Pełny arkusz matury z matematyki z 2 czerwca 2023 roku w formacie PDF.	2 czerwca 2023	PDF	Otwórz
Zasady oceniania	Zasady oceniania oraz klucz odpowiedzi do matury z matematyki z 2 czerwca 2023 roku.	2 czerwca 2023	PDF	Otwórz
Komplet materiałów	Arkusz i zasady oceniania z matury z matematyki z 2 czerwca 2023 roku w jednym archiwum.	2 czerwca 2023	ZIP	Pobierz

Zadanie 1: Różnica dwóch logarytmów - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 1: Różnica dwóch logarytmów - matura matematyka 2023 — Zadanie 1. Różnica dwóch logarytmów - matura matematyka 2023

Zadanie 2: Liczba osób w kolejce - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 2: Liczba osób w kolejce - matura matematyka 2023 — Zadanie 2. Liczba osób w kolejce - matura matematyka 2023

Zadanie 3: Prawdopodobieństwo awarii sieci - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 3: Prawdopodobieństwo awarii sieci - matura matematyka 2023 — Zadanie 3. Prawdopodobieństwo awarii sieci - matura matematyka 2023

Zadanie 4: Styczna do wykresu funkcji - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 4: Styczna do wykresu funkcji - matura matematyka 2023 — Zadanie 4. Styczna do wykresu funkcji - matura matematyka 2023

Zadanie 5: Nierówność dla liczby dodatniej - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 5: Nierówność dla liczby dodatniej - matura matematyka 2023 — Zadanie 5. Nierówność dla liczby dodatniej - matura matematyka 2023

Zasady oceniania

3 pkt – sposób I: uzasadnienie (a − 2)²(a + 4)/a ≥ 0 albo (a − 2)²(a + 4) ≥ 0, albo a(a − 2)²(a + 4) ≥ 0, z powołaniem się na a > 0. Sposób II: przekształcenie nierówności między średnimi do tezy. Sposób III: f(2) = 12.
2 pkt – sposób I: postać (a − 2)²(a + 4)/a ≥ 0 (lub (a − 2)²(a + 4) ≥ 0, albo a(a − 2)²(a + 4) ≥ 0), albo rozkład a³ − 12a + 16 = (a − 2)²(a + 4). Sposób II: liczby a², 8/a, 8/a są dodatnie i nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną. Sposób III: a = 2 jest argumentem najmniejszej wartości f na (0, +∞), z uzasadnieniem.
1 pkt – sposób I: (a³ − 12a + 16)/a ≥ 0 albo a³ − 12a + 16 ≥ 0, albo a(a³ − 12a + 16) ≥ 0. Sposób II: liczby a², 8/a, 8/a są dodatnie. Sposób III: pochodna f'(a) = 2a − 16/a².
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.

Uwaga: nierówność między średnimi liczb a², 8/a, 8/a bez zapisania, że są dodatnie, daje co najwyżej 2 punkty.

Zadanie 6: Równoramienność trójkąta stycznych - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 6: Równoramienność trójkąta stycznych - matura matematyka 2023 — Zadanie 6. Równoramienność trójkąta stycznych - matura matematyka 2023

Zadanie 7: Suma szeregu geometrycznego - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 7: Suma szeregu geometrycznego - matura matematyka 2023 — Zadanie 7. Suma szeregu geometrycznego - matura matematyka 2023

Zasady oceniania

4 pkt – zbiór x, dla których suma szeregu istnieje: x ∈ (−∞, −2) ∪ (4, +∞), oraz wartości, dla których suma wynosi 15/2: x = 6.
3 pkt – ten sam zbiór zbieżności oraz równanie 2x / (1 − (−3/(x − 1))) = 15/2. Albo warunek |q| < 1, to samo równanie i rozwiązania x = −5/4 oraz x = 6.
2 pkt – sam zbiór x ∈ (−∞, −2) ∪ (4, +∞) albo warunek |q| < 1, wzór na sumę i równanie 2x / (1 − (−3/(x − 1))) = 15/2.
1 pkt – iloraz q = −3/(x − 1).
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwaga: wybór x = 6 po sprawdzeniu |q| < 1 dla kandydatów x = −5/4 oraz x = 6 daje 4 punkty.

Uwaga: brak warunku |q| < 1 daje co najwyżej 2 punkty.

Uwaga: poprawny warunek |−3/(x − 1)| < 1 i błąd w przedziale zbieżności, przy konsekwentnym dokończeniu, dają 3 punkty.

Uwaga: błędny iloraz wymierny, np. q = −3x/(x − 1), i konsekwentne dokończenie dają co najwyżej 2 punkty.

Uwaga: rozbicie szeregu na dwa szeregi bez komentarza i konsekwentne dokończenie dają co najwyżej 3 punkty.

Zadanie 8: Równanie trygonometryczne - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 8: Równanie trygonometryczne - matura matematyka 2023 — Zadanie 8. Równanie trygonometryczne - matura matematyka 2023

Zasady oceniania

4 pkt – poprawna metoda i wynik w przedziale [−π/2, π/2]: −π/8, 3π/8, −5π/12, −π/12, π/4.
3 pkt – rozwiązanie sin(5x) = sin(x − π/2) (albo cos x = cos(5x + π/2)) w zbiorze liczb rzeczywistych: x = −π/8 + kπ/2 lub x = π/4 + kπ/3, k ∈ ℤ. Albo alternatywa równań elementarnych i rozwiązanie jednego z nich w [−π/2, π/2], albo wszystkich w zbiorze liczb rzeczywistych.
2 pkt – postać sin(5x) = sin(x − π/2) albo cos x = cos(5x + π/2). Albo wzór na sumę sinusów albo cosinusów i alternatywa, np. sin(2x + π/4) = 0 lub cos(3x − π/4) = 0.
1 pkt – wzór redukcyjny do jednej funkcji, np. sin(5x) + sin(π/2 − x) = 0 albo cos(π/2 − 5x) + cos x = 0.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zadanie 9: Pole trójkąta wpisanego - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 9: Pole trójkąta wpisanego - matura matematyka 2023 — Zadanie 9. Pole trójkąta wpisanego - matura matematyka 2023

Zadanie 10: Parametr równania kwadratowego - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 10: Parametr równania kwadratowego - matura matematyka 2023 — Zadanie 10. Parametr równania kwadratowego - matura matematyka 2023

Zasady oceniania

Etap I (warunek Δ > 0), 1 pkt – m ∈ (−∞, 1/9) ∪ (1, +∞).
Etap II, 3 pkt – warunek 1/x₁² + 1/x₂² < 1: m ∈ (−4 − 2√6, 0) ∪ (0, −4 + 2√6).
Etap II, 2 pkt – nierówność z jedną niewiadomą m, np. [((m + 1)/m)² − 2·(−2m + 3)/m] / [(−2m + 3)/m]² < 1.
Etap II, 1 pkt – postać pod wzory Viète’a, np. ((x₁ + x₂)² − 2 x₁ x₂) / (x₁ x₂)² < 1.
Etap III, 1 pkt – jednocześnie Δ > 0 i 1/x₁² + 1/x₂² < 1: m ∈ (−4 − 2√6, 0) ∪ (0, 1/9).
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwaga: warunek Δ ≥ 0 zamiast Δ > 0 daje 0 punktów za etap I.

Uwaga: błędna nierówność wymierna w etapie II, rozłączna ze zbiorem z etapu I, daje 0 punktów za etap III.

Uwaga: brak warunku m ≠ 0 albo m ≠ 3/2 daje co najwyżej 4 punkty za całość.

Zadanie 11: Ciąg geometryczny i arytmetyczny - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 11: Ciąg geometryczny i arytmetyczny - matura matematyka 2023 — Zadanie 11. Ciąg geometryczny i arytmetyczny - matura matematyka 2023

Zadanie 12: Boki czworokąta wpisanego - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 12: Boki czworokąta wpisanego - matura matematyka 2023 — Zadanie 12. Boki czworokąta wpisanego - matura matematyka 2023

Zasady oceniania

5 pkt – |AB| = 2√10, |BC| = 3√6, |CD| = √10, |AD| = 2√6.
4 pkt – |AB| = 2√10 i |AD| = 2√6 oraz jedno z: |CE| = 3, skala podobieństwa trójkątów DEC i AEB równa 1/2, albo długość jednego boku i wyrażenia na pozostałe.
3 pkt – |AB| = 2√10 i |AD| = 2√6.
2 pkt – |AP| = √15 albo |CE| = 3, albo skala podobieństwa 1/2, albo |DE| = 2, |BE| = 6, |AE| = 4 wraz z układem a² + d² = 64, a² = 6² + 4² − 2·6·4·cos β, d² = 2² + 4² − 2·2·4·cos(180° − β).
1 pkt – |DE| = 2, |BE| = 6, |AE| = 4, albo podobieństwo trójkątów DEC i AEB (albo BEC i AED), albo |AE| · |CE| = |BE| · |DE|.
0 pkt – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwaga: przyjęcie |DE| = 1 i konsekwentne dokończenie daje co najwyżej 3 punkty.

Zadanie 13: Największa objętość graniastosłupa - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 13: Największa objętość graniastosłupa - matura matematyka 2023 — Zadanie 13. Największa objętość graniastosłupa - matura matematyka 2023

Matura matematyka rozszerzona 2023 - czerwiec, termin dodatkowy

Zadanie 1: Różnica dwóch logarytmów - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 2: Liczba osób w kolejce - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 3: Prawdopodobieństwo awarii sieci - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 4: Styczna do wykresu funkcji - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 5: Nierówność dla liczby dodatniej - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 6: Równoramienność trójkąta stycznych - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 7: Suma szeregu geometrycznego - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 8: Równanie trygonometryczne - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 9: Pole trójkąta wpisanego - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 10: Parametr równania kwadratowego - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 11: Ciąg geometryczny i arytmetyczny - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 12: Boki czworokąta wpisanego - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Zadanie 13: Największa objętość graniastosłupa - Matura z Matematyki 2023, czerwiec

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)