Matura matematyka rozszerzona 2019 czerwiec - arkusz i odpowiedzi PDF (Formuła 2015)

Nazwa	Opis	Data publikacji	Typ danych	Dokument
Arkusz egzaminacyjny	Pełny arkusz matury z matematyki z 4 czerwca 2019 roku w formacie PDF.	4 czerwca 2019	PDF	Otwórz
Zasady oceniania	Zasady oceniania oraz klucz odpowiedzi do matury z matematyki z 4 czerwca 2019 roku.	4 czerwca 2019	PDF	Otwórz
Komplet materiałów	Arkusz i zasady oceniania z matury z matematyki z 4 czerwca 2019 roku w jednym archiwum.	4 czerwca 2019	ZIP	Pobierz

Zadanie 1: Iloczyn logarytmów - Matura z Matematyki 2019, czerwiec

4 pkt – obwód trójkąta ABC równy 120.
3 pkt – równanie wymierne z jedną niewiadomą a (długość BD). Same błędy rachunkowe albo pominięcie współczynnika 1/2 we wzorze na pole dają co najwyżej 3 pkt. Przybliżenia funkcji trygonometrycznych dają co najwyżej 3 pkt.
2 pkt – cos α = 1/2 i równanie z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC, albo cos ω = 1/7 i równanie dla trójkąta BCD, albo sin ω = 4√3/7, albo cos ω z definicji w trójkącie BCD. Błędne twierdzenie cosinusów, sinusów, Pitagorasa, Herona albo Stewarta daje co najwyżej 2 pkt.
1 pkt – sam cos α = 1/2, albo samo równanie z twierdzenia cosinusów, albo cos ω = 1/7, albo pole trójkąta ADC i wysokość CF. Jeden błąd z progu za 2 punkty oraz błędy rachunkowe dają 1 pkt. Założenie, że kąt CAD ma 60°, punktuje tylko te części, które z niego nie korzystają.
0 pkt – brak rozwiązania.

6 pkt – a = 6, a = 6 + 6√3 oraz a = 6 − 6√3.
Etap I (do 2 pkt) – środki i promienie S₁ = (6, 4), r₁ = 3, S₂ = (a, −2), r₂ = 9 oraz |S₁S₂| = r₁ + r₂ i |S₁S₂| = r₂ − r₁. Samo rozróżnienie styczności zewnętrznej i wewnętrznej albo same środki i promienie dają 1 pkt.
Etap II (do 2 pkt) – równanie √((a − 6)² + 6²) = 12 i rozwiązania a = 6(1 + √3) oraz a = 6(1 − √3). Samo równanie daje 1 pkt.
Etap III (do 2 pkt) – równanie √((a − 6)² + 6²) = 6 i rozwiązanie a = 6. Samo równanie daje 1 pkt. Etapy II i III są niezależne.
0 pkt – jeden błąd rachunkowy przy poprawnym rozumowaniu daje co najwyżej 5 pkt. Błędne promienie, środki albo wzór na odległość dają co najwyżej 4 pkt. Tylko jeden przypadek styczności i jeden taki błąd dają co najwyżej 2 pkt.

6 pkt – iloraz ciągu geometrycznego q = 1/3.
Etap I (do 4 pkt) – zależności b = (a + c)/2 oraz (2/(3b))² = 1/(a · (2a + 2b + c)) i równanie kwadratowe z niewiadomą q. Rozwiązanie równania z niewiadomymi a i c albo równanie kwadratowe z niewiadomą a/b albo r daje 3 pkt. Jedno równanie z dwiema niewiadomymi daje 2 pkt. Same zależności z własności ciągów dają 1 pkt.
Etap II (do 2 pkt) – q = 1/3. Zapis ilorazu jako funkcji dwóch zmiennych, np. q = (2a)/(3b), daje 1 pkt.
0 pkt – pomylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym daje 0 pkt za całość, chyba że jest punkt za q w zależności od dwóch zmiennych. Wyznaczenie q tylko z konkretnych wyrazów daje co najwyżej 1 pkt. Jeden błąd rachunkowy daje co najwyżej 5 pkt, a błąd własności ciągu co najwyżej 4 pkt.

6 pkt – m = 1 oraz x ∈ (−∞, −3⟩ ∪ ⟨−1/2, 2⟩.
Etap I (do 4 pkt) – uzasadnienie, że jedyną wartością parametru jest m = 1. Oba równania z treści i rozwiązanie jednego z nich dają 3 pkt. Oba równania bez rozwiązania albo jedno równanie rozwiązane dają 2 pkt. Jedno równanie, np. W(2) = 0 albo W(−1) = 6, daje 1 pkt. Sam zapis m = 1 bez komentarza daje 3 pkt, z komentarzem 4 pkt. Błędy rachunkowe przy poprawnej interpretacji dają co najwyżej 3 pkt. Zapis W(−2) = 0 i W(1) = 6 daje 0 pkt za ten etap.
Etap II (do 2 pkt) – rozwiązanie nierówności 2x³ + 3x² − 11x − 6 ≤ 0. Same pierwiastki x₁ = −3, x₂ = −1/2, x₃ = 2 dają 1 pkt. Wielomian z błędu, który ma trzy różne pierwiastki i wśród nich 2, daje 2 pkt przy konsekwentnym rozwiązaniu; bez pierwiastka 2 daje 1 pkt; co najwyżej dwa pierwiastki dają 0 pkt.
0 pkt – brak rozwiązania. Jeden błąd rachunkowy w III sposobie układu, przy jednej wartości m i konsekwentnym dokończeniu, daje co najwyżej 5 pkt.

4 pkt – x = kπ lub x = π/3 + 2kπ lub x = −π/3 + 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Równoważnie: x = π/3 + (2/3)kπ lub x = 2kπ.
3 pkt – rozwiązanie jednego równania z alternatywy, np. sin x = 0 albo cos x = 1/2, albo wykorzystanie sin 2x = sin x i zapis 2x = x + 2kπ lub 2x = π − x + 2kπ. Błędna wielokrotność kąta π daje co najwyżej 3 pkt. Pominięcie wielokrotności przy obu równaniach, ale komplet rozwiązań na przedziale długości 2π, daje 3 pkt.
2 pkt – alternatywa równań elementarnych, np. sin x = 0 lub cos x = 1/2, albo postać sin 2x = sin x i jedna zależność między kątami. Jeden błąd wzoru na sumę lub różnicę sinusów, albo dzielenie przez sin x bez przypadku sin x = 0, daje co najwyżej 2 pkt, o ile wyjdą co najmniej dwie serie. Podniesienie do kwadratu bez sprawdzenia albo podstawienie cos² x = 1 − sin² x daje co najwyżej 2 pkt.
1 pkt – przekształcenie równania do postaci z sin x i cos x. Dwa błędy opisane przy progu za 2 punkty dają co najwyżej 1 pkt, tylko za ten pierwszy krok.
0 pkt – brak rozwiązania.

7 pkt – krawędź podstawy a = 2, wysokość h = 2√3 / 3 oraz najmniejsze pole 6√3.
Etap I (3 pkt) – h = 8/(a²√3), pole całkowite f(a) = (a²√3)/2 + 8√3/a oraz dziedzina (0, +∞). Punkt za dziedzinę jest niezależny, o ile rozważana jest funkcja jednej zmiennej. Błędne h postaci k·a⁻² z k niewymiernym nadal może dać punkt za wzór pola.
Etap II (3 pkt) – pochodna f′(a) = (4a³√3 − 32√3)/(4a²), miejsce zerowe a = 2 oraz znak: f′(a) < 0 na (0, 2) i f′(a) > 0 na (2, +∞), z uzasadnieniem minimum. Bez uzasadnienia, że to najmniejsza wartość, co najwyżej 2 pkt za ten etap.
Etap III (1 pkt) – a = 2, h = 2√3 / 3 i pole 6√3.
0 pkt – pominięcie jednej ściany przy polu i konsekwentne dokończenie daje co najwyżej 5 pkt. Błędna pochodna postaci (Aa + B)/a² albo ułamek z wielomianem stopnia 3 w liczniku nadal może dostać punkty za miejsce zerowe i znak.