Matura matematyka rozszerzona 2018 czerwiec - arkusz i odpowiedzi PDF (Formuła 2015)

Nazwa	Opis	Data publikacji	Typ danych	Dokument
Arkusz egzaminacyjny	Pełny arkusz matury z matematyki z 5 czerwca 2018 roku w formacie PDF.	5 czerwca 2018	PDF	Otwórz
Zasady oceniania	Zasady oceniania oraz klucz odpowiedzi do matury z matematyki z 5 czerwca 2018 roku.	5 czerwca 2018	PDF	Otwórz
Komplet materiałów	Arkusz i zasady oceniania z matury z matematyki z 5 czerwca 2018 roku w jednym archiwum.	5 czerwca 2018	ZIP	Pobierz

Zadanie 1: Równość potęg i k - Matura z Matematyki 2018, czerwiec

4 pkt – cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego do podstawy równy 9/√106.
3 pkt – długość przekątnej trapezu 2√106 albo tg kąta przy dłuższej podstawie równy 5/9. Same błędy rachunkowe dają co najwyżej 3 pkt. Przyjęcie, że średnica górnej podstawy ma długość 6, daje co najwyżej 3 pkt.
2 pkt – promień większej podstawy R = 12 oraz odcinek EB = 18. Cosinus zapisany tylko przez r, R i H daje 2 pkt. Błędne twierdzenie Pitagorasa albo „pierwiastek sumy = suma pierwiastków” dają co najwyżej 2 pkt. Rzut ramienia liczony jako różnica średnic, a nie jej połowa, daje co najwyżej 2 pkt.
1 pkt – sam promień R = 12. Przyjęcie, że wysokością stożka jest odcinek od wierzchołka do środka dolnej podstawy w sposób z treści, i poprawne R, dają co najwyżej 1 pkt.
0 pkt – brak rozwiązania.

6 pkt – m ∈ (−∞, −3) ∪ (3/5, 3/4).
Etap I (1 pkt) – Δ > 0, czyli m ∈ (−∞, −1) ∪ (3/5, +∞). Zapis Δ ≥ 0 daje 0 pkt za ten etap.
Etap II (do 4 pkt) – nierówność x₁³ + x₂³ > −7x₁x₂. 1 pkt za postać (x₁ + x₂)((x₁ + x₂)² − 3x₁x₂) > −7x₁x₂. 2 pkt za nierówność z samą niewiadomą m. 3 pkt za miejsca zerowe −3, −1 i 3/4 wielomianu −4m³ − 13m² + 9. 4 pkt za m ∈ (−∞, −3) ∪ (−1, 3/4).
Etap III (1 pkt) – część wspólna m ∈ (−∞, −3) ∪ (3/5, 3/4). Zbiór pusty albo ℝ na etapie I lub II daje 0 pkt za ten etap. Gdy jeden ze zbiorów I, II jest podzbiorem drugiego, etap III też daje 0 pkt.
0 pkt – wzór „suma sześcianów = sześcian sumy” i nierówność stopnia 3 doprowadzona do końca dają 1 pkt za etap II (za samo rozwiązanie nierówności). Błędy rachunkowe przy trzech różnych miejscach zerowych dają co najwyżej 3 pkt za etap II.

6 pkt – B = (−17/5, −31/5) oraz C = (−3, −13/3).
5 pkt – jeden wierzchołek i układ na współrzędne drugiego, albo oba wierzchołki z błędami rachunkowymi. Pominięcie warunku, że obie współrzędne C są ujemne, i zamiana prostych AB oraz AC dają 5 pkt. Inna podstawa niż AB daje co najwyżej 5 pkt.
4 pkt – samo B = (−17/5, −31/5) albo samo C = (−3, −13/3).
3 pkt – punkty styczności D = (9/5, 13/5) i E = (1, −3), albo równania prostych AC i AB, albo długości CE = (4/3)√10 i CS = (4/3)√10.
2 pkt – długości stycznych AD = AE = 2√10 oraz układ na punkt styczności, albo środek AS i układ, albo pęk prostych przez A i równanie z jedną niewiadomą. Dwa równania na współrzędne B albo C dają 2 pkt.
1 pkt – same styczne AD = AE = 2√10, albo środek i długość AS, albo sin kąta SAE = √5 / 5, albo pęk prostych y = ax − 7a − 1.
0 pkt – same błędy rachunkowe przy poprawnej strategii dają co najwyżej 5 pkt. Odczyt punktu styczności z rysunku i równanie jednej stycznej dają 1 pkt.

7 pkt – 3 punkty za etap I, 3 za etap II i 1 za etap III.
Etap I (do 3 pkt) – po 1 pkt za: dziedzinę a ∈ (1, 2), zależność między a i b oraz wzór L(a) = (4a² − 8a + 8)/a. Przedział ⟨1, 2) też daje punkt za dziedzinę.
Etap II (do 3 pkt) – pochodna L, miejsca zerowe a = −√2 oraz a = √2, i uzasadnienie, że najmniejsza wartość jest dla a = √2. Bez uzasadnienia minimum co najwyżej 2 pkt za ten etap. Dziedzina (0, +∞) albo jej brak zamyka punkt za minimum. Dziedzina (0, 2) albo (1, +∞) daje co najwyżej 1 pkt za minimum, o ile jest uzasadnione.
Etap III (1 pkt) – tangens kąta ostrego trapezu o najmniejszym obwodzie równy 1.
0 pkt – badanie funkcji innej niż wielokrotność (4a² − 8a + 8)/a daje 0 pkt za etapy II i III. Błędna długość podstawy, ale policzony dla niej tangens, może dać 1 pkt za etap III.